Pythagore

Pythagore : Mathématicien, scientifique et philosophe grec. Son année de naissance n’est pas établie exactement : ce serait entre 580 et 480 a.v.J.C. Il a aussi, par exemple, découvert les lois de l’harmonique en musique.

Le théorème de Pythagore

Si un triangle est rectangle, alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

L’hypoténuse est le côté le plus long, elle ne touche pas l’angle droit.

Soit un triangle rectangle ABC. Si les côtés AB et BC ont pour valeur 3 cm et 4 cm alors on écrira :

AB2 + BC2 = CA2  donc, en remplaçant par la valeur : 32 + 42 = CA2            

pyth1.jpg

CA2 = 9 + 16 = 25  mais on n’obtient pas la valeur de CA. Il faut extraire la racine carrée.

CA = √25 = 5 cm

 

Exercice d’application

Le triangle ABC est un triangle équilatéral. Calculer BH, hauteur du triangle. Arrondir au dixième le résultat.

ex1.jpg

Exemple de solution

Comme le triangle ABC est équilatéral, les trois côtés sont égaux.

Donc AB = BC =AC = 8 cm

Dans un triangle équilatéral, la hauteur est aussi la médiane.

Donc AH = HC = 8:2 = 4 cm

Comme BH est la hauteur, l’angle BHC est un angle droit et le triangle BCH est un triangle rectangle.

Or, d’après le théorème de Pythagore, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Soit :  CH2 + HB2 = BC2  et   HB2 = BC2 - CH2                

En remplaçant les côtés par leur valeur, on obtient :

 HB2= 82 - 42 = 64 - 16 = 48

HB = √48 = 6,93    soit 6,9 cm

 

La réciproque du théorème de Pythagore

Si dans un triangle, le carré du côté le plus grand est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

Cette fois, le triangle n’est pas reconnu comme rectangle et c’est ce qu’il faudra donc démontrer (ou démontrer qu'il ne l'est pas!).

triangle-1.jpg

Soit le triangle GHI. Le plus grand côté est [GI]. En suivant la réciproque du théorème de Pythagore, on calcule :

GI2= 52= 25

La somme des carrés des deux autres côtés est donc :

GH2 + HI2 = 32 + 42= 9 + 16 = 25

On peut donc constater que GI2= GH2 + HI2

Donc GHI est un triangle rectangle.


Exercice d’application

triangle-2.jpg

 

Le triangle RST est-il rectangle ?

Proposition de résolution

Dans le triangle RST, le côté le plus long est [RS].

Or, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, si dans un triangle, le carré du côté le plus grand est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

Soit RS2= 6,32= 39,69

ST2 + TR2 = 4,92 + 4,32 = 24,01 + 18,49 = 42,5

Les deux nombres obtenus (39,69 et 42,5) sont différents donc le triangle RST n’est pas rectangle.

 

Autre exercice

Je trace des allées (1 et 2) dans le jardin et je veux qu’elles soient perpendiculaires. Je prépare une corde de 14,4 m et une autre de 15,6 m que je place en ED et en DF. A quelle distance de E est-ce que je dois placer F pour que mes allées soient perpendiculaires ?


triangle-3-1.jpg

 

Proposition de résolution

Pour que les allées soient perpendiculaires, il faut que les droites EF et ED forment un angle droit. Il faut donc que le triangle EDF soit rectangle.

Dans le triangle EDF, le plus grand côté est [FD].

FD2= 15,62= 243,36

ED2 + EF2 = 14,42 + EF2 = 207,36

Pour obtenir un triangle rectangle, il faut FD2= ED2 + EF2 soit 243,36 = 207,36 + EF2

Donc : EF2= 243,36 – 207,36 =  36

EF=√36  = 6

Il faudra donc placer le point F à 6 m du point E.

 

 

 

 

 


Date de dernière mise à jour : 2012-02-06 18:21:38

×