Fractions et P.G.C.D.

Rappel sur les fractions, nombres premiers, fractions irréductibles, P.G.C.D.

Rappel

Une fraction est un nombre particulier qui s’écrit en deux parties : le numérateur qui se trouve au dessus de la barre de fraction et le dénominateur qui se trouve en dessous. Ce dernier indique le nombre de parties qui constituent l’unité prise en référence. Par exemple, dans le cas d’une tarte (l’unité est donc la tarte), si je la coupe en 4 parties, on obtient donc 4 ⁄ 4 . Si je la coupe en 8, on obtiendra 8 ⁄ 8 . Le numérateur indique le nombre de parts ainsi obtenues que je vais utiliser.

Si j’ai partagé ma tarte en huit et que nous sommes cinq pour la manger,

cela fera 5 ⁄ 8   . Il restera donc 3 parts c'est-à-dire 3 ⁄ 8 .

Je peux donc écrire que 5 ⁄ 8 +  3 ⁄ 8 = 8 ⁄ 8 donc une tarte, donc 1.

  8 ⁄ 8 = 1.

Mais si nous sommes onze personnes, que se passe-t-il ?

Soit je partage ma tarte en douze, soit je prends …. deux tartes ! Dans de deuxième cas, je dois partager mes tartes de la même manière. Supposons que je découpe ma première tarte en 8 et la deuxième en 4, j’aurai assez de parts pour chacun mais certains auront de plus grosses parts, ce qui n’est pas trop équitable. Ceci explique que lorsque je ferai des additions ou des soustractions avec les fractions, il me faudra le même nombre de parts donc le même dénominateur, sinon j’aurai des parts différentes.

 

L’unité est toujours une tarte que je divise en 8 mais comme il me faut deux tartes j’aurai : 8 ⁄ 8  + 8 ⁄ 8 = 16 ⁄ 8. Lorsque j’aurai offert mes onze quartiers de tarte, cela fera 11 ⁄ 8 et il restera 5 ⁄ 8 , et  11 ⁄ 8 + 5 ⁄ 8 = 16 ⁄ 8 .

 

Réduire une fraction

 

Les situations ne sont pas toujours aussi simples et les fractions sont parfois constituées de grands nombres.

 

Par exemple :   700/350

 

Heureusement, une des propriétés des fractions est qu’on ne change pas la valeur d’une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre.

 

Il faut alors faire appel  à ce que l’on appelle : « les caractères ou critères de divisibilité ».


Voici les plus simples :

 

A)     Un nombre est divisible exactement (le résultat est un nombre entier) par deux s’il est pair, c'est-à-dire s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.

 

Exemple :  1536 est pair donc 1536/2 = 768 (nombre entier) , 4845 est impair 4845/2 = 2422,5 (nombre décimal) donc il n’est pas divisible exactement.

 

B)     Un nombre est divisible par trois si la somme de ses chiffres forme un multiple de trois.

 

Exemple :  1854  → 1 + 8 + 5 + 4 = 18    18 est dans la table de trois donc 1854 est divisible par 3. On peut aussi continuer l’addition avec 18 : 1 + 8 = 9.

 

Donc 1854 / 3 = 618  

 

Mais  413 n’est pas divisible par 3 car    4 + 1 + 3 = 8 qui n’est pas dans la table de trois.

 

C)     Un nombre est divisible par cinq s’il se termine par « 0 »  ou « 5 ».

 

D)     Un nombre est divisible par six s’il est à la fois pair et divisible par 3.

 

Exemple : 198  Ce nombre est pair et la somme de ses chiffres 1 + 9 + 8 = 18 donc divisible par 3. Ce nombre est aussi divisible par 6.  198 / 6 = 33

 

E)      Un nombre est divisible par neuf si la somme de ses chiffres forme un multiple de neuf.

 

Exemple :  3522 → 3 + 5 + 2 + 2 = 12 qui est un multiple de trois mais pas de neuf donc pas divisible par 9 mais 3528 est divisible par 9 car 3 + 5 + 2 + 8 = 18.

 

Remarque : Les nombres divisibles par neuf le sont aussi par trois puisque neuf est un multiple de trois.

 

F)      Un nombre est divisible par dix s’il se termine par « 0 ».

 

Revenons donc à notre fraction 700/350

 

On voit immédiatement qu’on peut diviser le numérateur et le dénominateur par 10 et que l’on obtient alors 70 et 35 soit 70/35 . On peut maintenant diviser le numérateur et le dénominateur par 5 et obtenir 14 et 7 soit 14/7 . 14 est dans la table de 7 donc on va diviser par 7 pour obtenir 2 et 1 et donc  2/1 = 2.

 

On dit dans ce cas que la fraction peut être réduite puisque partant de 700/350  , on arrive à 2.

 

On écrit  700/350 = 2

 

Nombres premiers

 

Tous les nombres ne sont pas obligatoirement divisibles par d’autres. Certains d’entre eux ne peuvent être divisés que par eux-mêmes et 1, ils n’ont que deux diviseurs. On les appelle : « Nombres premiers »

 

Voici le début de cette liste infinie…..

 

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 ………

 

Remarque : 1 n’est pas considéré comme premier car il n’admet qu’un seul diviseur : 1 

 

Fraction irréductible

 

Lorsqu’on simplifie une fraction comme cela a été fait ci-dessus, on obtient parfois une fraction que l’on ne peut plus simplifier.

 

Exemple :  135/385     On peut diviser le numérateur et le dénominateur par 5  et obtenir 27/77. 27 est divisible par 3 et 9 mais 77 n’est divisible que par 7 et 11. Il n’est plus possible de simplifier. On dit alors que la fraction est irréductible.

 

Remarque : Lorsque deux nombres n’ont pas de diviseurs communs, sauf 1 bien sûr, on dit qu’ils sont « premiers entre eux ».

 

P.G.C.D.

 

Parfois les nombres sont assez grands et la recherche de leurs diviseurs communs pour obtenir une fraction irréductible est assez longue. On utilise alors le P.G.C.D., Plus Grand Commun Diviseur.

 

Il existe trois méthodes pour calculer ce P.G.C.D.

 

A)     Dresser la liste de tous les diviseurs de chaque nombre.

 

B)     Faire des soustractions successives (algorithme des soustractions)

 

C)     Faire des divisions successives (algorithme d’Euclide)

 

Un algorithme est une répétition d’opérations.

 

A)     Dresser la liste de tous les diviseurs de chaque nombre.

 

Deux nombres : 42 et 72

 

Liste des diviseurs de 42 en utilisant les critères de divisibilité et la connaissance des tables de multiplication : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

 

Remarque : Chaque diviseur en amène un autre : 42 / 1 = 42 ; 42 / 2 = 21 ; 42 / 3 = 14 ; 42 / 6 = 7.

 

Liste des diviseurs de 72 en utilisant les critères de divisibilité et la connaissance des tables de multiplication : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

 

Leurs diviseurs communs (que l’on retrouve dans les deux listes) sont : 1, 2, 3, 6 et le plus grand est 6.

 

P.G.C.D. (42 ;72) = 6


B)     Faire des soustractions successives (algorithme des soustractions)

 

Si on part du principe que si un nombre est un diviseur de deux nombres, il est alors diviseur de leur différence, on obtient par soustraction ceci :

72 – 42 = 30              42 et 30 ont le même diviseur             42 – 30 = 12 

30 – 12 = 18      18 – 12 = 6      12 – 6 = 6       6 – 6 = 0    Lorsqu’on obtient « 0 », on prend comme P.G.C.D. le résultat précédent soit « 6 ».

 

Remarque : Pour faire les soustractions, on utilise toujours le plus grand des deux nombres en premier.

 

C)     Faire des divisions successives (algorithme d’Euclide)

 

La division permet de calculer rapidement une série de soustractions. Si je divise 35 par 8, j’obtiens 4 au quotient et 3 au reste. Si j’utilise la soustraction :

 

35 – 8 = 27     27 – 8 = 19    19 – 8 = 11    11 – 8 =  3   J’ai donc retranché quatre fois 8 et il reste 3.

 

Appliquons l’algorithme d’Euclide à 72 et 42 :

72 / 42 = 1 reste 30          42 / 30 = 1 reste 12   30 / 12 = 2 reste 6   12 / 6 = 2 reste 0   Le dernier reste différent de « 0 » est donc « 6 » qui est le P.G.C.D.

 

Remarque : On divise le plus petit des deux nombres de la division par le reste.

 


Exercices

 

1)      Trouver tous les diviseurs de 52 et de 100.

 

 

 

D’abord 1 et le nombre lui-même : pour 52 : 1 et 52      pour  100 : 1 et 100

 

Ensuite appliquons les critères de divisibilité :

 

Nombre pair : 52 oui donc 2 et 26     100 : oui donc 2 et 50    (26 et 50 sont pairs donc divisibles par 2, donc 52 et 100 sont divisibles par 4)

 

Somme des chiffres :  5 + 2 = 7       1 + 0 + 0 = 1   Ces nombres ne sont pas divisibles par 3

 

Divisibles par 4 : pour 52 : 4 et 13             pour 100 : 4 et 25

 

52 n’est pas divisible par 5 mais 100 oui (terminé par « 0 ») donc pour 100 :  5 et 20

 

Les nombres ne sont pas divisibles par 3 donc pas par 6.

 

Dans la table de 7, on ne trouve pas 52 ni 100

 

Somme des chiffres :  5 + 2 = 7       1 + 0 + 0 = 1   Ces nombres ne sont pas divisibles par 9

 

52 n’est pas divisible par 10 mais 100 oui (terminé par « 0 ») donc pour 100 : 10 et …. 10  soit un seul nombre qui est 10 et il n’y a plus d’autres diviseurs car il serait plus grand que 10 mais le nombre obtenu serait plus petit, ce qui est impossible puisqu’ils ont tous été trouvés.

 

Vérifions la divisibilité de 52 par 11 : non

 

Puis nous arrivons à 13, déjà trouvé plus haut, donc il n’y a plus de diviseurs

 

Récapitulatif :

 

Diviseurs de 52 : 1, 2, 4, 13, 26, 52

 

Diviseurs de 100 : 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100

 

2)      Simplifier la fraction pour la rendre irréductible   315/405

 

 

 

Nous allons chercher le P.G.C.D. des deux nombres 315 et 405 par l’algorithme d’Euclide.

 

405 divisé par 315 ; quotient 1 reste 90    315 divisé par 90 : quotient 3 reste 45   90 divisé par 45 : quotient 2 reste 0

 

Le dernier reste non nul est donc 45 qui est aussi le P.G.C.D.

 

315 : 45 = 7         405 : 45 = 9

 

Soit :  315/405  =  7/9     fraction irréductible


Date de dernière mise à jour : 2013-04-19 21:47:04

×