Calcul littéral

Calcul littéral (c'est-à-dire avec des lettres …… et des nombres)

 

Situation de base :

Calculer A pour x = 7 et pour x = - 2

A = 4x + 5  On remplace la lettre x par la valeur donnée :

1er cas : A = 4 x 7 + 5 = 28 + 5 = 33       2ième cas : A = 4 x (-2) + 5 = - 8 + 5 = - 3


Développer : il s’agit d’utiliser la distributivité.    

 A = 4(3x+2) + 5(2x-3) = (4x3x) + (4x2) + (5x2x) + (5 x (-3)) = 12x + 8 + 10x + (-15) = 12x + 8 + 10x – 15 = 22x – 7

Parfois, on obtient un résultat moins simple comme par exemple avec  (4x-7)(3 x+2) qui donne :

12x2 + 8x – 21x – 14 Dans ce cas, on réduit l’expression en associant les nombres ensemble, les valeurs de x et de x2 ensemble :

 Soit   12x2 – 13x – 14  ( remarque : 12 est appelé coefficient de x2  et 13 coefficient de x )

La distributivité :

(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd

Parfois certains cas donnent des résultats qu’il est utile de retenir. On les appelle des identités remarquables.

En voici trois :

(a+b)(a+b) = (a+b)2 = a2 + b2 + 2ab         (a-b)(a-b) = (a-b)2 = a2 + b2 - 2ab       (a+b)(a-b) = a2 - b2

Ces résultats se lisent dans les deux sens, ce qui entraîne une autre application : la factorisation

La factorisation :

Exemple :   Dans l’expression (3x + 2)(7x + 4) – (3x + 2)(4x – 5) on retrouve (3x + 2) dans chaque terme de la soustraction.

On va le mettre en facteur (facteur commun) :

Soit : (3x + 2) [(7x + 4) - (4x – 5)] = (3x + 2) (7x + 4 – 4x + 5) (attention à la règle des signes)

          (3x + 2) [(7x + 4) - (4x – 5)] = (3x + 2) (3x + 9)

On part d’une différence  (3x + 2)(7x + 4) – (3x + 2)((4x – 5)  pour arriver à un produit (3x + 2) (3x + 9)

Factorisation avec les identités remarquables.

A = 64x2 + 48x + 9  

Si on se trouve dans le cas de (a+b)2 = a2 + b2 + 2ab      alors a = 8x et b = 3

Vérifions 2ab:      2 x 8x x 3 = 48x.         On en déduit donc que A = (8x + 3)2       

 

Exercices résolus

Factoriser :

A = (5x – 3) (2x + 7) + (3x – 8) (5x – 3) = (5x – 3) (2x + 7 + 3x – 8) = (5x – 3) (5x – 1)

B = 25x2 + 20x + 4 = (5x + 2)2  identité remarquable

C =  9x2 + 48x + 4  impossible car si on trouve 3x et 2 pour a et b, 2ab = 12x et non pas 48x

D =  8y2 + 5y = y(8y + 5)

                                         a2    -     b2

E = 81 – (3x + 5)2 = 92 – (3x + 5)2  de la forme (a+b)(a-b) = a2 - b2   soit (3 + 3x + 5) (3 – 3x – 5) = (3x+8) (-3x- 2)      

                                                       

Date de dernière mise à jour : 2012-11-20 10:22:11

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